30차시 · 정의와 표기

상태·입력·출력과 상태공간 모형

상태 \(x_k\)는 현재 입력 \(u_k\)와 함께 다음 상태를 계산하기에 충분한 정보의 묶음이다. 입력은 외부에서 주는 값이고, 출력 \(y_k\)는 상태에서 관측하는 값이다.

\(x_k\in\mathbb R^n\), \(u_k\in\mathbb R^m\), \(y_k\in\mathbb R^r\)이면 \(A\)는 \(n\times n\), \(B\)는 \(n\times m\), \(C\)는 \(r\times n\)이다. 이 차시는 계수가 시간에 따라 바뀌지 않는 선형 상태공간 모형을 다룬다.

성분의 순서와 단위를 먼저 정해야 같은 행렬이 같은 물리량을 계산한다. 운동 예제의 입력은 힘이 아니라 가속도이다.

30차시 · 설명과 유도

등가속도 운동식에서 상태행렬 만들기

한 구간 \(\Delta t\) 동안 가속도 \(u_k\)가 일정하다고 가정한다. \(p_k\)의 단위는 m, \(v_k\)는 m/s, \(u_k\)는 m/s²이다.

여기서 \(x_k=(p_k,v_k)^T\), 출력은 위치 \(y_k=p_k\)로 정했다. \(\Delta t=1\)초를 대입하면 다음 예제의 행렬이 된다.

30차시 · 정의와 표기

도달가능성과 입력의 열공간

정해진 단계 수 안에 입력을 골라 목표 상태를 만들 수 있으면 그 상태에 도달 가능하다고 한다. 두 단계에서는

목표와 자유운동 결과의 차이가 \([AB\ B]\)의 열공간에 있어야 한다. 2차원 상태·스칼라 입력에서는 이 두 열이 독립이면 임의의 목표를 두 단계로 만들 수 있다.

이는 입력 크기에 제한이 없다는 가정 아래의 결론이다. 가속도 제한 같은 실제 조건을 더하면 도달 가능한 목표가 줄어들 수 있다.

30차시 · 유도와 계산

두 단계의 입력이 도착점에 미치는 영향

\(x_1=Ax_0+Bu_0\)를 다음 단계 식에 대입합니다.

u₀는 B로 상태에 들어간 뒤 A를 한 번 더 거칩니다. 이 차이가 제어행렬의 서로 다른 열 AB와 B를 만듭니다.

30차시 · 계산과 논증

도달 가능한 목표와 가속도 제한

\(\Delta t=1\), \(x_0=0\), 목표 \(x_2=(4,0)^T\)이다. ① 두 입력을 구하라. ② \(|u_0|,|u_1|\le2\)라면 같은 시간에 도달 가능한가? ③ 정지해서 도착할 수 있는 위치의 범위를 구하라.

30차시 · 계산과 논증

고윳값 1이 기억의 유지를 뜻할까?

① \(x_0=(0,1)^T\)일 때 \(x_k\)를 구하라. ② 고윳값이 모두 1이므로 상태 크기가 일정하다는 주장을 반박하라. ③ \(B\) 대신 \(B'=e_1\)을 쓰면 정지 출발에서 속도를 바꿀 수 있는가?