30차시 · 상태공간
현재 상태와 입력으로 다음 상태를 계산한다
1초 동안 가속도 \(u_k\)가 일정한 운동.
\[x_k=\begin{bmatrix}p_k\\v_k\end{bmatrix},\qquad x_{k+1}=Ax_k+Bu_k\]
\[A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}\tfrac12\\1\end{bmatrix}\]
\(p_k\): 위치, \(v_k\): 속도, \(u_k\): 가속도 입력.
상태 선택
가속도 입력을 알 때 다음 위치를 계산하려면 현재 무엇이 필요한가?
상태는 다음 시점의 변수를 결정하는 데 필요한 현재 정보의 묶음.
직접 계산
\(x_0=(0,1)^\mathsf T\), \(u_0=2\), \(u_1=0\)
행렬 \(A\)는 상태의 자연 변화, \(B\)는 입력의 반영 방식.
초기 상태
\[x_0=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\]
위치 0, 속도 1.
입력 시나리오
같은 상태방정식에 다른 입력을 적용한다
\(x_0=(0,1)^\mathsf T\), \(u_k=0\). 속도 1 유지.
파란색: 위치 \(p_k\). 주황색: 속도 \(v_k\).
제어 가능성
정지 상태에서 2초 뒤 위치 4, 속도 0 만들기
\[x_2=A^2x_0+ABu_0+Bu_1\]
\(x_0=0\), 목표 \(x_2=(4,0)^\mathsf T\).
\[\begin{bmatrix}AB&B\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tfrac32&\tfrac12\\1&1\end{bmatrix},\qquad \det=1\ne0\]
\[\begin{bmatrix}\tfrac32&\tfrac12\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_0\\u_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix}\quad\Longrightarrow\quad (u_0,u_1)=(4,-4)\]
첫 1초 가속, 다음 1초 감속. 최종 상태 \((p_2,v_2)=(4,0)\).
입력이 없는 상태 갱신
\(h_{k+1}=0.8h_k\), \(h_0=10\). 장기 상태는?
\(|\lambda|<1\)
고유모드 감소
\(|\lambda|=1\)
유지 또는 진동
\(|\lambda|>1\)
고유모드 증가
시퀀스 모델
입력을 상태에 기록하고 필요한 출력을 읽는다
\[h_{t+1}=Ah_t+Bx_t,\qquad y_t=Ch_t\]
\(x_t\)현재 입력
→
\(h_t\to h_{t+1}\)상태·기억
→
\(y_t\)출력
- \(A\): 이전 상태의 전달과 감쇠
- \(B\): 입력을 상태에 기록하는 방식
- \(C\): 상태에서 출력을 읽는 방식
선택적 상태공간 모델은 일부 계수를 입력에 따라 바꾼다. 전체 모델은 일반적으로 비선형.
핵심 정리
상태공간 모델은 갱신, 제어, 안정성을 하나의 행렬식으로 표현한다
상태 갱신
\(x_{k+1}=Ax_k+Bu_k\)
입력 설계
목표 상태를 만드는 선형시스템.
안정성
\(A^k\)와 고윳값의 장기 거동.
공학·AI
제어, 추정, 시퀀스 모델.