현상
측정할 양과 조건
32차시 · 정의와 표기
모형·가정·계수 추정·검증
수학적 모형은 현상에서 필요한 양을 변수로 정하고 그 관계를 수식으로 표현한 것이다. 상태는 예측에 사용할 정보, 매개변수는 자료나 가정에서 정한 계수이다.
계수 추정은 주어진 자료로 매개변수를 정하는 과정이다. 검증은 계수를 정할 때 쓰지 않은 자료에서 예측이 얼마나 맞는지 확인하는 과정이다. 같은 자료로 맞추고 검사하면 새 상황의 정확도를 과대평가할 수 있다.
이번 실습은 ① 변수와 단위 정의 ② 계수의 근거 ③ 계산 한 번 ④ 별도 자료의 오차와 한계까지 제시한다. 복잡한 모형을 만드는 것보다 네 항목이 서로 맞는지가 중요하다.
32차시 · 정의와 표기
예측오차와 비교 기준
관측벡터를 \(y\), 예측벡터를 \(\hat y\)라 하고 오차벡터를 \(e=y-\hat y\)로 정의한다. 이 실습에서는 성분별 절대오차의 합을 비교한다.
\[e=y-\hat y,\qquad \|e\|_1=\sum_i|e_i|\]
성분 단위가 모두 인원수이면 \(\|e\|_1\)도 '명' 단위이다. 서로 다른 단위를 더하려면 정규화 기준을 먼저 정해야 한다. 총인원이 보존되는지 검사하는 일과 구역별 오차를 검사하는 일은 별개이다.
현재 상태가 그대로 유지된다고 예측하는 모형을 비교 기준으로 둘 수 있다. '오차가 작다'는 주장에는 어떤 자료와 어떤 기준을 사용했는지 함께 적는다.
32차시 · 모델링 실습
자료로 확인할 수 있는 선형모델 만들기
→
표현
벡터와 행렬
→
계산
예측과 추정
→
검증
자료·오차·반례
상태·규칙·계산 결과·적용 조건을 짧고 분명하게 정리합니다.
32차시 · 계산과 논증
예측 질문을 실제로 검사할 수 있게 바꾸기
한 모둠이 '전이행렬로 사람의 이동을 정확하게 예측한다'고 주제를 정했다. A·B 구역에서 10분 간격으로 인원을 셀 수 있다고 하자.
예측할 시점과 양, 상태의 성분·단위, 두 가지 가정, 계수 추정용 자료와 검증용 자료의 분리 방법, 비교 기준을 포함한 실험 계획을 써라.
풀이와 판단 근거
예: '다음 10분 뒤 A·B 구역 인원수를 예측한다. \(x_k=(A_k,B_k)^T\), 단위는 명이다. 외부 유입·유출이 없고 관찰 시간대에는 이동 비율이 일정하다고 가정한다.'
'앞선 관찰 구간의 이동 기록으로 각 출발 구역의 이동 비율을 추정한다. 마지막 구간은 추정에 쓰지 않고 예측 검증에 남긴다. 구역별 절대오차의 합을 계산해 \(\hat x_{k+1}=x_k\)인 유지 모형과 비교한다.'
한 시점의 총인원만으로 모든 이동 비율을 알아낼 수는 없다. 출발 구역별 이동 기록 또는 충분히 독립적인 여러 초기상태 자료가 필요하다.
모델 명세서
계산 전에 네 항목부터 정해 봅시다
\(\mathbf{x}\)
성분의 뜻, 단위, 차원
\(\mathbf{y}=A\mathbf{x}\)
행과 열의 뜻, 계수의 근거
계산할 결과
예측값, 최솟값, 안정성, 분류
e=y−ŷ
자료 비교, 오차, 적용 조건
행렬의 크기나 단위가 맞지 않으면 계산을 멈추고 모델의 정의부터 다시 살펴봅시다.
32차시 · 설명과 유도
자료에서 전이행렬의 두 열 정하기
수업용 가상 자료이다. 한 구간 동안 A에만 있던 100명 중 76명이 A, 24명이 B로 이동했다. 별도 구간에서 B에만 있던 100명 중 26명이 A, 74명이 B에 있었다.
\[Pe_1=\binom{.76}{.24},\qquad Pe_2=\binom{.26}{.74},\qquad P=\begin{bmatrix}.76&.26\\.24&.74\end{bmatrix}\]
각 열은 출발 구역 하나의 분포 변화이다. 음이 아닌 원소와 열의 합 1을 확인한다. 이 두 구간의 자료만으로 모든 시간대에 같은 비율이라고 결론낼 수는 없다.
32차시 · 계산과 논증
계수를 정하지 않은 새 자료로 비교하기
앞에서 정한 \(P\)를 사용한다. 별도의 검증 구간에서 \(x_0=(50,50)^T\), 실제 다음 인원수는 \(y=(49,51)^T\)였다.
① \(P\)의 예측과 \(\ell_1\) 오차를 구하라. ② 이전 예제의 \(P_0=\begin{bmatrix}.8&.3\\.2&.7\end{bmatrix}\), 그리고 현재 상태 유지 모형과 비교하라. ③ '추정한 행렬이 가장 정확하다'고 말할 수 있는가?
풀이와 판단 근거
\[Px_0=(51,49)^T,\quad\|y-Px_0\|_1=4\]
\[P_0x_0=(55,45)^T,\quad\|y-P_0x_0\|_1=12,\quad\|y-x_0\|_1=2\]
추정한 행렬은 \(P_0\)보다 낫지만 유지 모형보다 오차가 크다. 이 한 구간에서는 유지 모형이 가장 작았다는 결론까지만 가능하다. 여러 검증 구간과 시간대에서도 결과가 유지되는지 조사해야 한다.
주제 선택
수업 시간 안에 첫 계산을 마칠 수 있는 주제 하나를 고릅시다
상태·자료관측값을 설계행렬 X와 반응변수 벡터 y로 정리.
모델\(X\)를 QR 분해해 \(\widehat{\boldsymbol{\beta}}\)를 계산.
첫 계산작은 자료 3–5개로 잔차 𝐫=𝐲−Xβ̂ 계산.
확장 질문이상치 하나가 회귀계수와 잔차를 얼마나 바꿀까?
모둠 탐구 · 권장 15분
15:00
먼저 작은 수치 예시 하나를 완성합시다
- 0–3분 — 상태, 단위, 조건의 명시
- 3–8분 — 행렬 구성과 첫 계산
- 8–12분 — 결과 해석과 오차 확인
- 12–15분 — 적용 범위와 확장 질문
계산이 막히면 차원이나 자료 수를 줄이고 정확한 예시 하나부터 끝냅시다.
32차시 · 계산과 논증
보존량과 현실의 가정이 충돌할 때
어떤 모둠은 열의 합이 1인 전이행렬로 총 100명의 다음 분포를 예측했다. 그런데 다음 관측은 \((52,53)^T\)였다.
① 이동률만 다시 추정해서 두 관측값을 동시에 정확히 맞출 수 있는가? ② 가능한 원인과 이를 구별할 추가 자료를 제안하라. ③ 외부 유입을 포함하는 식을 쓰고 새 기호를 정의하라.
풀이와 판단 근거
열의 합이 1이면 예측의 성분 합은 반드시 100이므로 총 105명인 관측을 정확히 맞출 수 없다. 구역 간 이동률을 바꾸는 것만으로 해결되지 않는다.
\[x_{k+1}=Px_k+b_k\]
\(b_k\)는 각 구역의 순외부유입 인원수이며 두 성분의 합은 이 구간에서 5명이어야 한다. 출입구의 유입·유출 기록과 계수 시각을 확인해 실제 유입, 중복 집계, 관찰 시간 차이를 구별한다. 한 관측만으로 원인을 단정하지 않는다.
결과 공유
변수·계수·검증 결과·한계를 보고하기
대상
무엇을 벡터로 표현했는가?
규칙
행렬은 무엇을 계산하는가?
결과
검증 오차와 비교 기준은 무엇인가?
범위
언제 맞고 언제 실패하는가?
\[\text{현상}\;\longrightarrow\;\text{벡터·행렬}\;\longrightarrow\;\text{계산}\;\longrightarrow\;\text{검증}\]