1단원 · 벡터공간

어떤 집합이
벡터공간이 되나요?

화살표, 다항식, 소리, 사진에도 덧셈과 스칼라배를 정의할 수 있어요. 두 연산의 공통 규칙을 공리로 정리하고, 기저와 차원으로 공간의 구조를 설명해요.

1서로 다른 대상에서 찾는 공통 연산

u와 v를 드래그해 보세요. u + v는 평행사변형의 대각선으로 나타나요.

a = 1.0 b = 1.0

$p(x) = x^2 - 1$ 과 $q(x) = x$ 의 일차결합 $a\,p + b\,q$. 다항식끼리 덧셈과 스칼라배를 정의하면 다항식도 벡터공간의 원소로 볼 수 있어요. 2차 이하 다항식 전체는 3차원 공간이며 계수 $(c_0, c_1, c_2)$가 좌표가 돼요.

맨 아래 파형은 두 파형을 더한 결과예요. 이렇게 파동을 더해 결과를 구하는 규칙을 중첩원리라고 해요. 시간에 따른 진폭값을 차례로 모으면 소리를 하나의 벡터로 나타낼 수 있어요.

α = 0.50

$\alpha \cdot \text{(그림 A)} + (1-\alpha) \cdot \text{(그림 B)}$ — 픽셀 값들의 일차결합. 픽셀 밝기를 실수로 보고 값의 범위를 제한하지 않으면 사진을 거대한 벡터로 나타낼 수 있어요. 이미지의 페이드 효과나 단순한 얼굴 보간에 이 계산을 쓸 수 있어요.

소리의 중첩원리 · 정확한 선형성
  • 적용 범위 — 일상적인 음압에서는 선형 파동 모형이 잘 맞아 여러 악기의 음압을 파형의 합으로 계산할 수 있어요.
  • 실패 범위 — 폭발음이나 제트기처럼 진폭이 매우 크면 비선형 효과가 커져 중첩원리가 정확히 맞지 않아요.
  • 다른 분야 — 양자역학에서도 측정 전 상태를 여러 상태의 선형결합으로 나타내요.

2벡터공간의 여덟 공리

공리 표준 ℝ²
(보통의 덧셈·스칼라배)		 변형한 연산
c⊙(x,y) = (cx, y)		 양수의 연산 ℝ⁺
u⊕v = uv, c⊙u = uᶜ
공리 하나가 실패하면 판정이 어떻게 달라질까요? 칸을 선택해 보세요.

3부분공간의 세 판정 조건

4일차독립 — 평면의 세 벡터가 만드는 중복

벡터들의 일차결합이 영벡터가 되는 방법이 모든 계수를 0으로 두는 것뿐이면 그 벡터들은 일차독립이에요. 평면에서 일차독립인 벡터는 최대 2개이므로 벡터 3개는 반드시 일차종속이에요.

일차관계 계산 중

세 벡터를 드래그해 보세요. 화면은 일차독립인 두 벡터를 고른 뒤 남은 벡터를 두 벡터의 일차결합으로 나타내요.

차원은 기저를 이루는 벡터의 수예요. 평면의 위치에는 두 좌표, RGB 색에는 세 성분이 필요해요. 차원을 대상을 빠짐없이 나타내는 데 필요한 독립 정보의 수로 생각할 수 있어요.

5기저와 좌표 — 같은 벡터, 다른 숫자

28° [v]ᵦ = (?, ?)

$b_1$, $b_2$, $v$의 화살표 끝을 드래그해 보세요. 기저 벡터를 바꾸면 격자와 좌표 $[v]_B$도 함께 변해요.

행렬과 연결 — 기저를 고른 뒤 생기는 좌표 표현

기저행렬 $P=(b_1\ b_2)$에 대해 $v=P[v]_B$이므로 $[v]_B=P^{-1}v$예요. 2단원에서는 선형변환을 기저에 따라 행렬로 기록해요.

6내적 — 방향 관계와 정사영

u·v = ? θ = ?

두 벡터를 드래그하여 내적이 0이 되는 직교 상태를 찾아보세요. \(u\ne0,\ v\ne0\)이고 두 벡터가 서로 실수배 관계가 아닐 때 일차독립이에요. 바로 이 조건에서 ‘그람–슈미트 과정’ 버튼을 누르면 v에서 u 방향 성분(그림자)을 빼서 0이 아닌 직교벡터를 만드는 과정을 보여 줘요. ‘정규화’를 선택하면 두 벡터의 길이도 1로 맞춘 정규직교기저가 돼요 [12고대01-08].

3차원 공간으로 확장 — 세 벡터에서 정규직교기저까지

2차원에서는 직선 위의 그림자를 뺐다면, 3차원에서는 먼저 $v_2$에서 직선 $u_1$ 위의 그림자를 빼 $u_2$를 만들고, 이어서 $v_3$에서 $u_1$과 $u_2$가 이루는 평면 위의 그림자 $\operatorname{proj}_{u_1}(v_3) + \operatorname{proj}_{u_2}(v_3)$를 통째로 빼서 수직인 $u_3$을 얻어요. 마우스나 터치로 3차원 공간을 자유롭게 돌려 보세요!

0단계: 원래 세 벡터 (기울어진 기저)
[3D 회전: 드래그]
현재 단계 공식
초기 상태: $v_1, v_2, v_3$는 일차독립인 임의의 기저 벡터입니다.
직교성 검증 (내적 = 0 확인)
u₁·u₂ = ? u₁·u₃ = ? u₂·u₃ = ?

검색과 언어 모델에서는 내적이나 이를 바꾼 점수로 벡터 사이의 관련도를 계산해요. 연결 탐구 8에서 계산 과정을 확인해 보세요.

더 깊이 보기 — 임의의 체 $K$ 위에서, 그리고 무한차원

이 단원의 스칼라는 실수 $\mathbb{R}$였지만, 공리는 스칼라가 사칙연산을 할 수 있고 0이 아닌 수로 나눌 수도 있는 수 체계이면 작동해요. 이런 수 체계를 체(field)라고 해요. 스칼라를 $\{0, 1\}$ 두 개뿐인 세계 $\mathbb{F}_2$로 바꾸면 어떻게 될까요? — 연결 탐구 1의 Lights Out 퍼즐에서 불의 배치와 누름 조합을 벡터로 다뤄요.

같은 정의역에서 실숫값을 내는 함수 전체는 함수끼리 더하고 실수배해도 같은 모임에 남으므로 벡터공간이에요. 차수 제한이 없는 모든 다항식의 공간처럼 유한한 기저로 나타낼 수 없는 공간을 무한차원 벡터공간이라고 해요. 이런 공간의 선형대수는 푸리에 해석과 양자역학에 쓰여요.

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