1단원 · 벡터공간

어떤 집합이
벡터공간이 되는가?

화살표, 다항식, 소리, 사진에서 덧셈과 스칼라배를 정의할 수 있다. 이 두 연산의 공통 성질을 공리, 기저, 차원으로 설명한다.

1서로 다른 대상에서 찾는 공통 연산

네 대상에 공통인 덧셈과 스칼라배.
겉모습이 아니라 연산 규칙으로 정하는 벡터.
한 구조에서 증명한 정리의 여러 대상 적용.

u와 v를 드래그해 보자. u + v 는 평행사변형의 대각선 — 익숙한 그 벡터.

a (p의 계수) a = 1.0 b (q의 계수) b = 1.0

$p(x) = x^2 - 1$ 과 $q(x) = x$ 의 일차결합 $a\,p + b\,q$. 다항식끼리 더하고 상수배한다 — 다항식도 벡터다. (2차 이하 다항식 전체는 3차원 공간: 계수 $(c_0, c_1, c_2)$가 좌표!)

맨 아래 파형이 두 파형의 문자 그대로의 덧셈이다. 두 소리는 서로를 부수지 않고 통과하며 더해진다 — 중첩원리. 소리는 (시간마다의 변위 값들의 목록 =) 벡터다.

혼합 비율 α α = 0.50

$\alpha \cdot \text{(그림 A)} + (1-\alpha) \cdot \text{(그림 B)}$ — 픽셀 값들의 일차결합. 사진은 (각 픽셀 밝기를 성분으로 하는) 거대한 벡터다. 영화의 페이드 효과, AI의 얼굴 모핑이 전부 이 연산이다.

소리의 중첩원리 · 정확한 선형성

어디까지 선형인가? — 일상의 모든 소리에서 중첩은 사실상 정확하다. 오케스트라 100개 악기의 파형이 고막에서는 "그냥 덧셈"이다.
언제 깨지는가? — 폭발음·제트기 수준의 대진폭(비선형 음향학). 정확해 보이는 법칙에도 창은 있다.
더 깊은 곳은? — 양자역학의 중첩원리는 우리가 아는 한 정확히 선형이다. 우주의 가장 깊은 층이 선형이라는 것, 물리학의 큰 신비 중 하나.

2벡터공간의 여덟 공리

덧셈과 스칼라배의 최소 작동 조건인 8개 공리.
연산을 바꾼 세 세계의 비교.
공리 하나의 실패가 만드는 계산의 실패.

공리	표준 ℝ² (보통의 덧셈·스칼라배)	변형한 연산 c⊙(x,y) = (cx, y)	양수의 연산 ℝ⁺ u⊕v = uv, c⊙u = uᶜ

칸을 클릭하면 판정과 이유가 나온다.

3부분공간의 세 판정 조건

큰 공간 안에서 같은 연산을 유지하는 부분공간.
판정 1 · 영벡터 포함.
판정 2 · 덧셈과 스칼라배에 대한 닫힘.
예측 뒤 반례 확인.

4일차독립 — 평면의 세 벡터가 만드는 중복

어느 벡터도 나머지의 일차결합이 아닌 상태가 일차독립. 평면에서 독립인 방향은 최대 2개. 세 벡터에는 반드시 생기는 중복.

차원은 독립적인 좌표의 수이다. 평면의 위치에는 두 수, RGB 색에는 세 수가 필요하다. 대상을 빠짐없이 나타내는 데 필요한 독립 정보의 개수.

5기저와 좌표 — 같은 벡터, 다른 숫자

공간을 빠짐없이, 중복 없이 생성하는 기저.
기저를 정한 뒤 생기는 좌표.
기저가 바뀌어도 그대로인 벡터 자체.

행렬과 연결 — 기저를 고른 뒤 생기는 좌표 표현

기저행렬 $P=(b_1\ b_2)$에 대해 $v=P[v]_B$이므로 $[v]_B=P^{-1}v$이다. Unit 2에서는 선형사상을 기저에 따라 행렬로 기록한다.

6내적 — 방향 관계와 정사영

내적 $u\cdot v=|u||v|\cos\theta$의 부호가 보여 주는 방향 관계.
직교의 판정 $u\cdot v=0$.
$v$가 $u$ 방향에 드리우는 그림자인 정사영.

u·v = ? θ = ? 정규화(길이 1)

두 벡터를 드래그하며 내적이 0이 되는 순간, 곧 직교하는 경우를 찾아보자. 그람-슈미트 버튼은 v 에서 u 방향 성분(그림자)을 빼서 직교 기저를 만드는 과정을 애니메이션으로 보여준다. 이는 기울어진 좌표를 직교좌표로 바꾸는 기술이다 [12고대01-08].

이 유사도 측정은 검색 엔진과 언어 모델의 어텐션에도 쓰인다. 두 기술은 내적으로 단어들의 관련도를 측정한다. 연결 탐구 8에서 직접 확인해 보자.

더 깊이 보기 — 임의의 체 $K$ 위에서, 그리고 무한차원

이 단원의 스칼라는 실수 $\mathbb{R}$ 였지만, 공리는 스칼라가 "사칙연산이 되는 수 체계(체, field)"이기만 하면 작동한다. 스칼라를 $\{0, 1\}$ 두 개뿐인 세계 $\mathbb{F}_2$ 로 바꾸면? — 연결 탐구 1의 Lights Out 퍼즐 전체가 벡터공간이 된다.

함수 전체의 모임도 벡터공간이다(함수끼리 더하고 상수배할 수 있으니까). 단, 이 공간은 무한차원 — 그 위의 선형대수가 푸리에 해석, 양자역학의 무대다. 대학 수학의 절반은 "무한차원에서도 이 단원이 통하는가"라는 질문이다.

Unit 2 행렬과 선형변환으로 →