점 = 기준점
r(t₀)를 빼서 관심 있는 점을 원점으로 옮겨요.
곡선은 휘어 있지만 속력이 0이 아닌 점 가까이에서는 접선으로 근사할 수 있어요. 그 점에서 가능한 접선 움직임을 모두 모은 것이 1차원 접공간이에요. 단위 길이를 움직일 때 접선이 얼마나 빠르게 돌아가는지 재면 곡률을 구할 수 있어요.
매개변수 t: 곡선 위 점을 정하는 값. r′(t): 순간 속도와 접선 방향. 곡률: 단위 길이를 이동할 때 접선 방향이 변하는 정도. 접촉원: 현재 점에서 곡선의 굽힘과 가장 잘 맞는 원. 아래 공식은 r′(t)≠0인 점에서 사용해요. \(t\)를 옮기면 접선과 접촉원은 어떻게 달라질까요? 슬라이더로 확인해 보세요.
곡률이 클수록 접촉원은 작고, 곡률이 작을수록 접촉원은 큼 곡률이 0인 변곡점에서는 주법선과 유한한 접촉원이 정해지지 않음 곡률: 단위 길이를 이동할 때 접선 방향이 변하는 정도
기준점 r(t₀)를 빼서 원점으로 옮긴 뒤 폭 h인 이웃을 1/h배 확대해요. h가 0에 가까워질수록 확대된 곡선은 접공간의 직선 모형에 가까워져요. h를 줄이며 두 그래프의 차이를 확인해 보세요.
r(t₀)를 빼서 관심 있는 점을 원점으로 옮겨요.
r′(t₀)의 모든 배수는 한 직선 모양의 선형공간을 이루어요.
기준점에 접벡터를 더해 만든 접선 모형은 작은 범위에서만 정확하므로 오차와 함께 사용해요.
곡선의 접선 움직임은 한 줄 위에 있지만 곡면에서는 접평면의 여러 움직임을 살펴야 해요. 매끄러운 곡면에서 점마다 길이가 1인 수직벡터 \(n\)을 고르자. 접벡터 \(v\) 방향으로 움직일 때 \(n\)이 변하는 벡터에 음수를 붙인 것이 형상작용소 \(S\)예요.
\(S\)의 0이 아닌 고유벡터가 주방향이고, 그 고윳값이 주곡률이에요. 3단원에서 배운 고유벡터와 고윳값으로 곡면의 굽힘을 읽는 셈이에요.
주곡률의 부호는 수직벡터를 어느 쪽으로 고르는지에 따라 함께 바뀌어요. 크기의 관계와 곱 K=k₁k₂의 부호로 점 가까이의 곡면 모양을 구분할 수 있어요.
|k₁|=|k₂|=1/R이고 부호가 같으므로 K>0이에요.
|k₁|=1/R이고 k₂=0이므로 K=0이에요.
k₁과 k₂의 부호가 반대이므로 K<0이에요.
S=−Dn이라는 부호 규약에서 바깥쪽 법선을 택한 구의 주곡률은 −1/R. 안쪽 법선을 택하면 +1/R. 법선을 뒤집으면 S와 두 주곡률의 부호가 함께 뒤집힘. 곱 K=k₁k₂는 그대로지만 평균곡률 H=(k₁+k₂)/2의 부호는 바뀜.