근 가까이에서 시작
단순한 근에 충분히 가깝고 함수가 매끄러우며 f′≠0이면 오차가 빠르게 줄어요.
비선형 문제 전체를 한 번에 선형 문제로 바꾸기는 어려워요. 현재 위치에서 선형 모형을 만들고 조금 이동한 뒤 같은 계산을 반복해요. 값이 멀어지거나 되풀이되면 모형이나 시작값을 바꿔야 해요.
목표는 f(x)=0의 해를 찾는 일이에요. 현재 예상값 xₙ에서 접선을 그리고, 그 접선의 x절편을 다음 예상값 xₙ₊₁로 골라요.
단순한 근에 충분히 가깝고 함수가 매끄러우며 f′≠0이면 오차가 빠르게 줄어요.
f′≈0이면 나눗셈이 불안정해지고 다음 x절편이 멀어질 수 있어요.
x³−2x+2, x₀=0에서는 0→1→0을 반복해요. 각 계산은 맞아도 근에는 가까워지지 않아요.
세대 변화는 xₙ₊₁=r xₙ(1−xₙ)로 나타내며, 곡선과 대각선의 교점이 평형점 x*다. 평형점의 기울기 λ를 보면 작은 오차가 줄지 커질지 알 수 있어요.
선형화는 비선형 문제 전체를 바꾸는 것이 아니라, 한 점 주변만 선형으로 가까이 나타내는 과정이에요. 어느 점을 기준으로 삼았는지, 어디까지 쓸 수 있는지, 오차는 얼마나 되는지를 함께 밝혀야 해요.
뉴턴법의 xₙ이나 동역학의 x*처럼 기준점을 먼저 정해요.
미분으로 만든 근사는 기준점 근처에서만 정확해요. 멀리 이동하면 그곳에서 다시 선형화해요.
뉴턴법에서는 f′≠0인지, 안정 판정에서는 |λ|≠1인지 확인해요. 경계에서는 고차항도 살펴봐요.
|f(xₙ)|과 실제 궤적을 확인해요. 실패 신호가 나타나면 멈추고 모형을 고쳐요.
| 문제 | 한 점 근처의 선형 모형 | 통하는 핵심 조건 | 실패 신호 | 다음 행동 |
|---|---|---|---|---|
| 방정식의 근 | 현재 점의 접선 | 근에 충분히 가깝고 f′가 0이 아님 | 평평한 접선, 계산 범위 이탈, 순환 | 시작값 변경, 이분법과 병행 |
| 평형점의 안정성 | 도함수 또는 여러 변수의 도함수(야코비 행렬) | 고윳값의 절댓값이 1과 분명히 다름 | |λ|≈1, 비매끄러운 점 | 고차항·직접 반복·수치 실험 확인 |
여러 변수에서는 도함수들을 야코비 행렬에 모아요. 평형점 근처의 작은 변화는 이 행렬을 반복해서 곱한 것처럼 움직이므로 고윳값이 다시 등장해요. 이산시간 반복에서 모든 고윳값의 절댓값이 1보다 작으면 가까운 점들이 평형점으로 모여요. 하나라도 1보다 크면 그 성분의 오차가 커져요.