근 가까이에서 시작
곡선이 매끄럽고 f′≠0이면 오차가 빠르게 줄어든다.
비선형 문제 전체를 한 번에 선형문제로 바꿀 수는 없다. 현재 위치에서 만든 선형모형으로 조금 이동한 뒤 다시 선형화한다. 적용 조건이 깨지면 실패 신호를 확인하고 모형이나 시작값을 바꾼다.
목표는 f(x)=0의 해를 찾는 것이다. 현재 추측 xₙ에서 접선을 만든다. 접선의 x절편을 다음 추측 xₙ₊₁로 선택하기.
곡선이 매끄럽고 f′≠0이면 오차가 빠르게 줄어든다.
f′≈0이면 나눗셈이 불안정해지고 다음 x절편이 멀어질 수 있다.
x³−2x+2, x₀=0에서는 0→1→0을 반복한다. 계산 단계는 맞지만 근에 수렴하지 않는다.
세대 변화: xₙ₊₁=r xₙ(1−xₙ). 곡선과 대각선의 교점: 평형점 x*. 평형점의 기울기 λ가 작은 오차의 축소·확대를 결정하는 구조.
“비선형을 선형으로 바꿈”이 아니라 “한 점 주변을 선형으로 근사함”. 중심·유효 범위·판정 조건·실제 오차를 함께 밝히는 설명.
뉴턴법의 xₙ과 동역학의 x*처럼 기준점을 먼저 정한다.
미분은 기준점 근처에서만 유효하다. 멀리 이동하면 다시 선형화한다.
뉴턴법에서는 f′≠0, 안정 판정에서는 |λ|≠1인지 확인한다. 경계에서는 고차항도 살핀다.
|f(xₙ)|과 실제 궤적을 확인한다. 실패 신호가 나타나면 중단하고 모형을 수정한다.
| 문제 | 국소 선형 모형 | 통하는 핵심 조건 | 실패 신호 | 다음 행동 |
|---|---|---|---|---|
| 방정식의 근 | 현재 점의 접선 | 근에 충분히 가깝고 f′가 0이 아님 | 평평한 접선, 폭주, 순환 | 시작값 변경, 구간법과 병행 |
| 평형점의 안정성 | 도함수 또는 야코비 행렬 | 고윳값의 절댓값이 1과 분명히 다름 | |λ|≈1, 비매끄러운 점 | 고차항·직접 반복·수치 실험 확인 |
숫자 하나의 도함수는 여러 변수에서 야코비 행렬이 된다. 평형점 근처의 작은 변화는 그 행렬을 반복해서 곱한 것처럼 움직인다. 따라서 Unit 3에서 배운 고윳값이 다시 등장한다. 모든 고윳값의 절댓값이 1보다 작으면 작은 오차가 줄고, 하나라도 1보다 크면 그 고유방향으로 오차가 자란다. 비선형 동역학의 첫 진단이 선형대수인 이유다.