각 고유벡터가 놓인 직선에서는 변환이 고윳값만큼 늘리거나 줄이는 일로 단순해져요. 일차독립인 고유벡터가 기저를 이루면 그 기저에서 행렬은 대각행렬이 돼요. 이 방법으로 피보나치 수열, 웹 순위, 인구 모형의 반복을 계산할 수 있어요.
영벡터가 아닌 $v$를 회전시키면서 $Av$를 관찰해 보세요. 대부분의 방향에서 $Av$는 다른 곳을 가리키지만, 특별한 방향에서는 $Av$가 $v$와 나란해져요. $Av = \lambda v$일 때 그 방향의 벡터를 고유벡터, 배율 $\lambda$를 고윳값이라고 해요.
$Av = \lambda v$ 는 $(A - \lambda I)v = 0$ — 영이 아닌 해 $v$가 있으려면 $A - \lambda I$가 되돌릴 수 없는 비가역 선형변환이어야 해요. 2단원의 행렬식 판정을 적용하면 $\det(A - \lambda I) = 0$이에요. 이 식이 행렬식·역행렬·고윳값을 연결해요.
$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$은 두 앞 항을 쓰는 점화식이지만, 상태를 벡터로 묶으면 한 단계짜리 선형식이 돼요. $$\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}_{A} \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{pmatrix}$$ 표현을 바꾸어 선형 구조를 찾아낸 사례예요. 이제 $F_n$은 $A^n$으로 계산할 수 있고, 대각화를 이용하면 거듭제곱 계산이 단순해져요. $A$의 고윳값을 구해 보자. $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \implies \lambda = \frac{1 \pm \sqrt5}{2}$ — 절댓값이 가장 큰 고윳값을 지배 고윳값이라고 해요. 여기서는 황금비 $\varphi = 1.618\ldots$가 지배 고윳값이에요.
대각화 $A = PDP^{-1}$에서 $A^n = PD^nP^{-1}$이고 대각행렬의 거듭제곱은 각 대각 성분에 거듭제곱을 적용하면 되므로, 비네 공식을 바로 유도할 수 있어요. $$F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt5}{2},\ \psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$$ 식에 $\sqrt5$가 들어가지만 두 항을 빼고 나누면 정확히 정수가 돼요.
내일 날씨가 오늘 날씨에만 의존한다고 하자. $p$ = 맑음→비 확률, $q$ = 비→맑음 확률. 날씨의 확률분포는 매일 전이행렬 $M$을 한 번씩 적용해 갱신해요. 오래 지나면 어떻게 될까요?
이 위젯은 $0<p,q<1$인 경우만 다뤄요. 전이행렬의 고윳값은 $\lambda_1 = 1$(정지분포 성분)과 $|\lambda_2| < 1$(두 출발 분포의 차이 성분)이에요. 반복할 때마다 $\lambda_2$ 성분은 $|\lambda_2|^n \to 0$으로 줄고 $\lambda_1$ 성분만 남아요. 같은 원리가 연결 탐구 4의 PageRank 계산에도 쓰여요.
모든 2×2 행렬은 자신의 특성다항식에 자신을 대입하면 영행렬이 돼요. $A^2 - (\mathrm{tr}A)A + (\det A)I = O$. 따라서 $A^2$를 $A$와 $I$의 선형결합으로 바꿀 수 있어요. 이 과정을 반복하면 $A^n$을 $\alpha A + \beta I$ 꼴로 나타낼 수 있어요. 거듭제곱 계산이 짧아져요.
실수 대칭행렬($A=A^T$)에는 서로 수직이고 길이가 1인 고유벡터 기저가 있어요. 서로 다른 고윳값의 고유벡터는 직교하고, 중복 고윳값의 고유공간에서도 정규직교기저를 고를 수 있어요. ‘대칭 유지’를 끄고 비대칭 조건($c\ne b$)과 비교해 보세요.
스펙트럼 정리에 따르면 실수 대칭행렬과, 복소수에서 대칭행렬과 비슷한 역할을 하는 에르미트 행렬에는 정규직교 고유기저가 있고 고윳값은 모두 실수예요. 양자역학에서는 에너지나 스핀 같은 물리량을 에르미트 연산자로 나타내요. 측정 결과는 그 고윳값으로 해석하고, 수소 원자의 스펙트럼 선은 에너지 고윳값의 차이와 연결해요.
$Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 1$의 $xy$항은 축이 기울어졌다는 신호예요. 이 식은 대칭행렬로 쓸 수 있어요. $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 1$. 좌표축을 회전시켜 $xy$항을 없애 보세요. 교차항이 사라지는 축의 방향이 고유벡터 방향이에요.
세대별 인구나 계절별 상태처럼 한 단계씩 갱신되는 모형은 $x_{k+1}=Ax_k$로 나타내요. 고유벡터가 기저를 이루면 반복할 때 각 고유벡터 쪽 성분에 $\lambda^k$가 곱해져요. 초기 상태에 그 성분이 있을 때 $|\lambda|<1$이면 줄고 $|\lambda|>1$이면 커져요. 모든 초기 상태가 원점으로 가는지는 모든 고윳값을 함께 살펴 판정해요.
피보나치·마르코프·이차곡선 가운데 관심 있는 주제를 골라 계산과 논술로 확장해 보세요. 아래 자료도 반복과 고윳값의 관계를 중심으로 살펴보세요.
// 상태: [맑음, 비, 눈] — 상태를 늘려 보세요.
// M[i][j] = "j 상태에서 i 상태로 갈 확률" (각 열의 합 = 1)
const M = [
[0.6, 0.3, 0.4], // ★ → 맑음
[0.3, 0.5, 0.4], // ★ → 비
[0.1, 0.2, 0.2], // ★ → 눈
];
let v = [1, 0, 0]; // 출발: 오늘은 확실히 맑음
for (let day = 0; day < 50; day++) { // ★ 반복 = 거듭제곱
v = M.map(row => row.reduce((s, x, j) => s + x * v[j], 0));
}
console.log("정지분포(λ=1 고유벡터):", v.map(x => x.toFixed(4)));
// 현재 M에서 출발 벡터를 [0,0,1]로 바꿔도 결과가 같은지 확인해 보세요.
// 레슬리 행렬: 연령 3단계 (0-19세, 20-39세, 40-59세)
// 한 번 반복할 때 20년이 흐른다고 가정해요.
const f = [0.0, 1.1, 0.2]; // 연령별 출산율: 1.1을 조절해 보세요.
const s = [0.98, 0.97]; // ★ 다음 단계 생존율
const L = [
[f[0], f[1], f[2]],
[s[0], 0, 0 ],
[0, s[1], 0 ],
];
let v = [100, 100, 100]; // 초기 인구 (만 명)
for (let gen = 0; gen < 60; gen++) {
const w = L.map(row => row.reduce((t, x, j) => t + x * v[j], 0));
// 안정 연령 비율에 가까워지면 전체 인구 증가율도 지배 고윳값에 가까워져요.
if (gen % 10 === 0) console.log(`세대 ${gen}: 성장률 λ ≈`,
(w.reduce((a,b)=>a+b) / v.reduce((a,b)=>a+b)).toFixed(4));
v = w;
}
// λ > 1: 장기 증가, λ < 1: 장기 감소 — 출산율 f[1]의 경곗값을 찾아보세요.
반복에서 지배 고유벡터가 남는 원리를 웹 페이지 순위에 적용해요.
고유얼굴(Eigenfaces)과 LoRA가 적은 수의 변화 방향만 쓰는 저랭크 구조를 비교해요.
정확한 선형성, 한 점 가까이의 선형 근사, 특징 확장의 조건을 비교해요.