복잡해 보이는 변환도 알맞은 방향(고유벡터)에서 보면 각 방향의 배율인 고윳값으로 표현할 수 있다. 대각화는 그 방향을 기저로 골라 변환을 대각행렬로 나타내는 과정이다. 피보나치 수열, 웹 순위, 인구 모형의 반복을 같은 방법으로 분석한다.
벡터 $v$를 회전시키면서 $Av$를 관찰해 보자. 대부분의 방향에서 $Av$는 다른 곳을 가리키지만, 특별한 방향에서는 $Av$ 가 $v$ 와 나란해진다: $Av = \lambda v$. 그 방향이 고유벡터, 배율 $\lambda$ 가 고윳값이다.
$Av = \lambda v$ 는 $(A - \lambda I)v = 0$ — 영이 아닌 해 $v$가 있으려면 $A - \lambda I$ 가 납작하게 눌러버리는 변환(비가역)이어야 하고, Unit 2에서 배웠듯 그 판정기가 행렬식이다: $\det(A - \lambda I) = 0$. 행렬식·역행렬·고윳값이 한 줄로 꿰어지는 순간.
$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$ 은 2차 점화식이지만, 상태를 벡터로 묶으면 1차 선형이 된다: $$\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}_{A} \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{pmatrix}$$ — "표현을 바꾸면 선형이 된다"(메커니즘 ③)의 정석. 이제 $F_n$ 은 $A^n$ 의 문제고, 거듭제곱은 대각화가 지배한다. $A$의 고윳값은? $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \implies \lambda = \frac{1 \pm \sqrt5}{2}$ — 황금비 $\varphi = 1.618\ldots$ 가 여기서 등장한다!
대각화 $A = PDP^{-1}$ 에서 $A^n = PD^nP^{-1}$ — 대각행렬은 거듭제곱이 공짜이므로 비네 공식이 즉시 나온다: $$F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt5}{2},\ \psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$$ 정수만 더해서 만든 수열의 공식에 $\sqrt5$ 가 들어있다 — 그런데 값은 언제나 정확히 정수다.
내일 날씨가 오늘 날씨에만 의존한다고 하자. $p$ = 맑음→비 확률, $q$ = 비→맑음 확률. 날씨의 확률분포는 매일 전이행렬 $M$ 에 곱해진다 — 또 반복이다. 오래 지나면 어떻게 될까?
확률 전이행렬의 고윳값은 $\lambda_1 = 1$(정상상태 방향)과 $|\lambda_2| < 1$ (차이가 죽는 방향)이다. 반복할 때마다 $\lambda_2$ 성분은 $|\lambda_2|^n \to 0$ 으로 사라지고 $\lambda_1$ 성분만 살아남는다 — 피보나치의 황금비와 완전히 같은 구조. 이 성질이 연결 탐구 4의 PageRank 계산에 적용된다.
모든 2×2 행렬은 자신의 특성다항식에 자신을 대입하면 영행렬이 된다: $A^2 - (\mathrm{tr}A)A + (\det A)I = O$. 따라서 $A^2$ 을 $A$ 와 $I$ 로 낮출 수 있고 — 반복하면 $A^n$ 전체가 $\alpha A + \beta I$ 로 접힌다. 거듭제곱의 지름길이다.
대칭행렬($A=A^T$)이 보장하는 정규직교 고유기저. 서로 다른 고윳값의 고유벡터는 자동으로 직교. 중복 고윳값의 고유공간에서는 직교기저의 선택 가능. 비대칭 조건($c\ne b$)과의 비교.
"대칭(에르미트) 연산자는 직교 고유기저를 갖고 고윳값이 실수"라는 것이 스펙트럼 정리 — 이 단원 전체의 일반화다. 양자역학에서 물리량(에너지, 스핀…)은 에르미트 연산자이고, 측정값은 그 고윳값만 나온다. 수소 원자의 스펙트럼 선은 문자 그대로 어떤 연산자의 "스펙트럼"이다. 20세기 물리학이 이 단원 위에 서 있다.
$Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 1$ 의 $xy$항은 "축이 기울어져 있다"는 신호다. 이 식은 대칭행렬로 쓸 수 있다: $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 1$. 좌표축을 회전시켜 $xy$항을 없애 보자. 교차항이 사라지는 각도가 고유벡터의 방향이다.
세대별 인구나 계절별 상태처럼 한 단계씩 갱신되는 모형 $x_{k+1}=Ax_k$. 반복할 때 각 고유성분에 누적되는 배율 $\lambda^k$. 절댓값이 1보다 작은가 큰가에 따른 수렴과 발산.
평가계획 명시 3종(피보나치·마르코프·이차곡선)은 이 페이지의 2·3·5번이 직접 다뤘다. 아래는 차별화를 위한 논문 소재들 — 전부 "반복 × 고윳값"이라는 오늘의 문법 하나로 읽힌다.
// 상태: [맑음, 비, 눈] — 상태를 늘려 보자.
// M[i][j] = "j 상태에서 i 상태로 갈 확률" (각 열의 합 = 1)
const M = [
[0.6, 0.3, 0.4], // ★ → 맑음
[0.3, 0.5, 0.4], // ★ → 비
[0.1, 0.2, 0.2], // ★ → 눈
];
let v = [1, 0, 0]; // 출발: 오늘은 확실히 맑음
for (let day = 0; day < 50; day++) { // ★ 반복 = 거듭제곱
v = M.map(row => row.reduce((s, x, j) => s + x * v[j], 0));
}
console.log("정상상태(λ=1 고유벡터):", v.map(x => x.toFixed(4)));
// 출발 벡터를 [0,0,1]로 바꿔도 결과가 같은지 확인해 보자.
// Leslie 행렬: 연령 3단계 (0-19세, 20-39세, 40-59세)
const f = [0.0, 1.1, 0.2]; // 연령별 출산율: 1.1을 조절해 보자.
const s = [0.98, 0.97]; // ★ 다음 단계 생존율
const L = [
[f[0], f[1], f[2]],
[s[0], 0, 0 ],
[0, s[1], 0 ],
];
let v = [100, 100, 100]; // 초기 인구 (만 명)
for (let gen = 0; gen < 60; gen++) {
const w = L.map(row => row.reduce((t, x, j) => t + x * v[j], 0));
// 지배 고윳값 추정 = 전체 인구의 증가율
if (gen % 10 === 0) console.log(`세대 ${gen}: 성장률 λ ≈`,
(w.reduce((a,b)=>a+b) / v.reduce((a,b)=>a+b)).toFixed(4));
v = w;
}
// λ > 1: 인구 폭발, λ < 1: 소멸 — 출산율 f[1]의 임계값을 찾아라
반복에서 지배 고유벡터가 남는 원리를 웹 페이지 순위에 적용한다.
Eigenfaces와 LoRA에서 공통으로 나타나는 저랭크 구조를 비교한다.
정확한 선형성, 국소 선형화, 특징 확장의 조건을 비교한다.