연결 탐구 2 · 프랙탈

규칙 4개로 그리는 고사리

수축 조건을 만족하는 아핀변환 몇 개와 각 변환을 고를 비율, 시작점 하나를 정해요. 무작위로 고른 변환을 점에 수만 번 적용하면 프랙탈 모양이 나타나요.

1카오스 게임

0점

‘처음 40번의 이동 보기’를 켜면 점이 움직인 경로를 선으로 볼 수 있어요. 점의 색은 그 단계에서 선택한 변환을 나타내요.

2아핀 계수를 바꿔 프랙탈 만들기

각 행은 아핀변환 하나예요. $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}$에서 $p$는 그 변환을 고를 가중치예요. 프로그램은 각 $p$를 전체 합으로 나누어 실제 선택 확률로 써요. 고사리 본체 변환의 가로 계수 $a$를 0.85에서 0.8로 낮추면 잎은 어떻게 달라질까요? 직접 바꿔 보고 변화를 기록해 보세요.

abcdefp
수축 조건과 끌개 아핀변환의 선형 부분에서 최대 늘임률이 1보다 작으면 어느 두 점 사이의 거리도 줄어요. 이를 수축 조건이라고 해요. 모든 변환이 이 조건을 만족하고 매 단계에서 각 변환을 정해 둔 양의 확률로 독립적으로 고르면, 시작점이 달라도 충분히 오래 반복한 점들이 같은 모양을 채워요. 이 모양을 끌개라고 하며, 허친슨 정리는 주어진 수축변환들이 정하는 끌개가 하나뿐임을 보장해요.
더 깊이 보기 — IFS와 프랙탈 압축

주어진 그림과 비슷한 결과를 내는 IFS를 거꾸로 찾을 때 콜라주 정리를 써요. 프랙탈 압축은 픽셀 전체 대신 변환 계수로 모양을 기록해요.

수행평가 1 · 변환 계수와 프랙탈

Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals — Barnsley & Demko (1985)
Proc. Royal Society A 399 · 웹 공개 PDF
§1의 아이디어와 고사리 계수표를 읽고 다음 세 내용을 탐구해 보세요. ① 네 변환이 줄기·본체·왼쪽 잎·오른쪽 잎 가운데 무엇을 만드는지 행렬로 분석해 보세요. ② 수축 정도와 모양의 안정성이 어떤 관계인지 실험해 보세요. ③ 자신만의 식물을 설계하고 계수를 제시해 보세요.
Generation of Fractals using Polar Coordinates (외 극좌표 프랙탈 2편)
극좌표 프랙탈 관련 읽을거리 3편
아핀변환 대신 극좌표 변환으로 프랙탈을 만드는 방법도 살펴보세요. 2단원의 복소수와 회전행렬로 좌표와 회전을 한꺼번에 나타내는 방법까지 확장해 보세요.

스타터 코드는 2단원 탐구실의 starter-fern.html — 이 페이지에서 조정한 계수를 그대로 넣으면 돼요.