연결 탐구 6 · 인구 모델

인구는 하나의 숫자가 아니다

같은 총인구라도 연령구조가 다르면 다음 세대는 달라진다. Leslie 모형은 출산과 생존을 한 행렬에 담아 장기 성장률과 안정 연령 비율을 계산한다.

1연령구조를 상태벡터로

같은 길이의 세 연령구간을 차례로 $A_0,A_1,A_2$라 하자. 한 시점의 인구는 구간별 인원수를 세로로 쌓은 벡터이다.

$$ \mathbf n_t=\begin{pmatrix}n_{0,t}\\n_{1,t}\\n_{2,t}\end{pmatrix},\qquad \mathbf n_{t+1}=L\mathbf n_t,\qquad L=\begin{pmatrix} F_0&F_1&F_2\\ S_0&0&0\\ 0&S_1&0 \end{pmatrix}. $$

TOP ROW출산율 $F_i$

연령군 $i$의 한 사람이 한 기간 뒤 $A_0$에 더하는 유효 출생아 수이다.

SUBDIAGONAL생존율 $S_i$

$A_i$의 한 사람이 생존하여 다음 연령군 $A_{i+1}$로 이동할 확률이다.

ONE STEP반복 $L^t\mathbf n_0$

출산과 생존이라는 같은 규칙을 기간마다 다시 적용한 결과이다.

행렬을 읽는 방향 $L$의 $j$번째 열은 연령군 $j$의 한 사람이 다음 상태에 남기는 기여이다. 첫째 행은 새로 태어나는 인구, 바로 아래 대각선은 다음 연령군으로 살아남는 인구. 나머지 0은 한 기간에 두 연령군을 건너뛰지 않는다는 가정이다.

왜 세 연령구간의 폭이 같아야 할까?

한 번의 곱셈은 정확히 한 투영 기간을 뜻한다. 모든 연령군의 폭이 그 기간과 같아야 $S_i$를 “다음 칸으로 이동할 확률”로 해석할 수 있다. 실제 인구 연구에서는 1년 또는 5년 폭의 연령군을 많이 쓰고, 필요한 만큼 행렬의 크기를 늘린다. 이 페이지의 3구간 모형은 구조를 보기 위한 축약형이다.

2출산과 생존을 바꾸며 장기 거동 읽기

모수를 바꾸면 행렬, 시간 그래프, 연령분포, 지배 고윳값이 함께 갱신된다. 먼저 성장 여부를 예측한 뒤 결과를 확인해 보자.

PRESET

FERTILITY · 출산율 $F_0$ · $A_0$의 기여 0.04 $F_1$ · $A_1$의 기여 1.15 $F_2$ · $A_2$의 기여 0.38

SURVIVAL · 생존율 $S_0$ · $A_0\to A_1$ 0.82 $S_1$ · $A_1\to A_2$ 0.74 투영 기간 수 $T$ 24

INITIAL STATE · 초기 인구 $A_0$ 인원 120 $A_1$ 인원 90 $A_2$ 인원 45

DOMINANT EIGENVALUE λ = — 장기 배율 계산 중

TRAJECTORY ESTIMATE λ̂ = — 총인구 비율 $N_t/N_{t-1}$

REPLACEMENT INDEX R₀ = — $F_0+S_0F_1+S_0S_1F_2$

LONG-RUN SCALE — 배가·반감 기간

t = 24

총인구 시간 그래프

로그 눈금

세로축: 총인구 지수 $100N_t/N_0$. 선택한 시점은 세로 점선으로 표시.

연령 비중의 수렴

위: 선택 시점의 비중. 아래: 지배 고유벡터가 예측하는 안정 비중.

시점	$A_0$	$A_1$	$A_2$	총인구
t = 24	—	—	—	—
연령 비중	—	—	—	100%
안정 비중	—	—	—	100%

3지배 고윳값 하나가 말해 주는 것

출산율과 생존율이 양수이면 반복 속에서 다른 고유성분은 상대적으로 약해진다. 장기적으로 남는 성분은 가장 큰 양의 고윳값 λ와 그 고유벡터 방향이다.

λ > 1 · 장기 성장

한 투영 기간마다 총인구가 대략 λ배로 증가한다. 증가율의 단위는 ‘투영 기간당’이다.

λ = 1 · 장기 경계

안정 연령비에 가까워지면 총인구가 거의 일정해진다. 초기에는 일시적으로 늘거나 줄 수 있다.

λ < 1 · 장기 감소

한 투영 기간마다 총인구가 대략 λ배로 줄어든다. λ가 0에 가까울수록 더 빠르게 감소한다.

$$ \det(\lambda I-L) =\lambda^3-F_0\lambda^2-S_0F_1\lambda-S_0S_1F_2=0, \qquad \mathbf v\ \propto \begin{pmatrix}1\\S_0/\lambda\\S_0S_1/\lambda^2\end{pmatrix}. $$

안정 연령분포의 의미 “안정”은 인구수가 멈춘다는 뜻이 아니다. 각 연령군의 비율이 지배 고유벡터의 비율에 가까워진다는 뜻이다. 그 뒤 전체 크기는 대략 λ배씩 변한다. 즉 방향은 안정되고, 크기는 계속 성장하거나 감소할 수 있다.

λ = 1의 경계를 행렬식 없이 찾는 방법

특성다항식에 λ = 1을 넣으면 $1-(F_0+S_0F_1+S_0S_1F_2)=0$을 얻는다. 따라서 $R_0=F_0+S_0F_1+S_0S_1F_2$를 대체지수로 두면 $R_0>1\Leftrightarrow\lambda>1$, $R_0=1\Leftrightarrow\lambda=1$, $R_0<1\Leftrightarrow\lambda<1$. 각 항은 한 사람이 해당 연령군까지 살아남아 남기는 출생 기여의 합이다.

4예측을 읽기 전에 확인할 가정

모형이 정확한 계산을 제공한다고 해서 현실을 완전하게 설명하는 것은 아니다. 결과의 범위는 가정의 범위와 같다.

고정된 모수
모든 기간에 같은 출산율과 생존율을 적용한다는 가정.
닫힌 인구
유입과 유출, 즉 이민과 이주를 제외한다는 가정.
밀도와 환경의 독립
자원 부족, 정책, 질병, 재난이 모수를 바꾸지 않는다는 가정.
집단 평균
개인의 차이와 우연을 평균값 하나로 요약한다는 가정.
같은 폭의 연령군
한 투영 기간에 정확히 다음 연령군으로 이동한다는 가정.
마지막 연령군의 절단
이 3구간 모형은 $A_2$ 이후를 추적하지 않는다는 제한.

현실 모형으로 확장 연령군 추가, 시간에 따라 변하는 $L_t$, 이주 벡터 $\boldsymbol\mu_t$, 환경 변동을 나타내는 확률 모형. 기본 반복식은 이주를 더한 $\mathbf n_{t+1}=L_t\mathbf n_t+\boldsymbol\mu_t$로 확장된다.

5탐구 과제 · 숫자보다 구조

같은 총인구, 다른 미래

총합이 같은 초기벡터 두 개를 만들고 첫 5기간을 비교해 보자. 장기 성장률은 같지만 단기 궤적은 왜 다른가?

성장과 감소의 경계

생존율을 고정하고 출산율 하나만 조절하여 λ를 1에 가깝게 맞춰 보자. $R_0=1$로 결과를 검산한다.

초기조건을 잊는 비율

초기벡터를 크게 바꾼 뒤 안정 비중을 비교해 보자. 어떤 가정 아래 같은 비율로 수렴하는가?