연결 탐구 6 · 인구 모형

인구를 숫자 하나로 나타내도 될까요?

같은 총인구라도 연령구조가 다르면 다음 세대는 달라져요. 레슬리 모형은 출산과 생존을 한 행렬에 담아 장기 증가율과 연령별 인구 비율을 계산해요.

1연령구조를 상태벡터로

같은 길이의 세 연령구간을 차례로 $A_0,A_1,A_2$라 하자. 기본 레슬리 모형은 보통 출산하는 한 성별만 추적해요. 한 시점의 인구는 구간별 인원수를 세로로 쌓은 벡터예요.

$$ \mathbf n_t=\begin{pmatrix}n_{0,t}\\n_{1,t}\\n_{2,t}\end{pmatrix},\qquad \mathbf n_{t+1}=L\mathbf n_t,\qquad L=\begin{pmatrix} F_0&F_1&F_2\\ S_0&0&0\\ 0&S_1&0 \end{pmatrix}. $$

첫째 행출산율 $F_i$

연령군 $i$의 한 사람이 한 기간 뒤 $A_0$에 더하는, 추적 대상 성별의 평균 출생아 수예요.

바로 아래 대각선생존율 $S_i$

$A_i$의 한 사람이 살아남아 다음 연령군 $A_{i+1}$로 이동할 확률이에요.

한 단계반복 $L^t\mathbf n_0$

출산과 생존이라는 같은 규칙을 기간마다 다시 적용한 결과예요.

행렬을 읽는 방향 $L$의 $j$번째 열은 연령군 $j$의 한 사람이 다음 상태에 남기는 기여예요. 첫째 행은 새로 태어나는 인구를, 바로 아래 대각선은 다음 연령군으로 살아남는 인구를 나타내요. 나머지 0에는 한 기간에 두 연령군을 건너뛰지 않는다는 가정이 담겨 있어요.

세 연령구간의 폭이 같아야 하는 까닭

행렬을 한 번 곱해 앞날을 계산할 때 흐르는 시간을 예측 기간이라고 해요. 연구에서는 투영 기간이라고도 불러요. 연령군의 폭이 이 기간과 같아야 $S_i$를 “다음 연령군으로 이동할 확률”로 읽을 수 있어요. 실제 연구에서는 1년 또는 5년 폭을 많이 쓰고 필요한 만큼 행렬을 키우지만, 여기서는 구조가 잘 보이도록 세 구간만 남겼어요.

2출산과 생존을 바꾸며 장기 거동 읽기

출산율과 생존율을 바꾸면 행렬, 시간 그래프, 연령분포가 함께 바뀌어요. 반복을 오래 했을 때 가장 크게 남는 배율을 지배 고윳값이라고 해요. 먼저 증가 또는 감소를 예상한 뒤 위젯에서 확인해 보세요.

예시

출산율 $F_0$ · $A_0$의 기여 0.04 $F_1$ · $A_1$의 기여 1.15 $F_2$ · $A_2$의 기여 0.38

생존율 $S_0$ · $A_0\to A_1$ 0.82 $S_1$ · $A_1\to A_2$ 0.74 예측 기간 수 $T$ 24

초기 인구 $A_0$ 인원 120 $A_1$ 인원 90 $A_2$ 인원 45

지배 고윳값 λ = — 장기 배율 계산 중

시간 그래프 추정 λ̂ = — 총인구 비율 $N_t/N_{t-1}$

한 사람이 남기는 평균 출생 기여 R₀ = — 세대 교체 지수 · $F_0+S_0F_1+S_0S_1F_2$

장기 배율 — 배가·반감 기간

t = 24

총인구 시간 그래프

로그 눈금

세로축: 총인구 지수 $100N_t/N_0$. 선택한 시점은 세로 점선으로 표시.

연령 비중의 수렴

위: 선택 시점의 비중. 아래: 지배 고유벡터가 예측하는 안정 비중.

시점	$A_0$	$A_1$	$A_2$	총인구
t = 24	—	—	—	—
연령 비중	—	—	—	100%
안정 비중	—	—	—	100%

3지배 고윳값과 장기 변화

이 위젯처럼 $F_1,F_2,S_0,S_1>0$이면 모든 연령군이 출산과 생존의 흐름으로 이어져요. 이때 0이 아닌 초기 인구를 반복하면 다른 고유성분은 상대적으로 작아지고, 절댓값이 가장 큰 양의 고윳값 $\lambda$와 그 고유벡터의 비율이 남아요.

λ > 1 · 장기 성장

안정 연령 비율에 가까워진 뒤에는 한 예측 기간마다 총인구가 대략 λ배가 돼요.

λ = 1 · 장기 경계

안정 연령 비율에 가까워지면 총인구가 거의 일정해져요. 초기에는 일시적으로 늘거나 줄 수 있어요.

λ < 1 · 장기 감소

안정 연령 비율에 가까워진 뒤에는 한 예측 기간마다 총인구가 대략 λ배로 줄어요.

$$ \det(\lambda I-L) =\lambda^3-F_0\lambda^2-S_0F_1\lambda-S_0S_1F_2=0, \qquad \mathbf v\ \propto \begin{pmatrix}1\\S_0/\lambda\\S_0S_1/\lambda^2\end{pmatrix}. $$

안정 연령분포의 의미 “안정”은 인구수가 멈춘다는 뜻이 아니에요. 각 연령군의 비율이 지배 고유벡터의 비율에 가까워진다는 뜻이에요. 연령 비율이 안정된 뒤에도 전체 인구는 대략 λ배씩 늘거나 줄 수 있어요.

λ = 1의 경계를 식으로 찾는 방법

특성다항식에 λ = 1을 넣으면 $1-(F_0+S_0F_1+S_0S_1F_2)=0$을 얻어요. 따라서 한 사람이 평생 남기는 추적 대상 성별의 평균 출생 기여를 합한 $R_0=F_0+S_0F_1+S_0S_1F_2$를 쓰면 $R_0>1\Leftrightarrow\lambda>1$, $R_0=1\Leftrightarrow\lambda=1$, $R_0<1\Leftrightarrow\lambda<1$. 각 항은 한 사람이 해당 연령군까지 살아남아 남기는 출생 기여예요.

4예측을 읽기 전에 확인할 가정

계산이 정확해도 모형이 현실을 빠짐없이 설명하는 것은 아니에요. 결론은 아래 가정이 맞는 범위에서만 읽어야 해요.

고정된 값
모든 기간에 같은 출산율과 생존율을 적용한다는 가정.
외부 이동이 없는 인구
유입과 유출, 즉 이민과 이주를 제외한다는 가정.
인구와 환경의 독립
자원 부족, 정책, 질병, 재난이 출산율과 생존율을 바꾸지 않는다는 가정.
집단 평균
개인의 차이와 우연을 평균값 하나로 요약한다는 가정.
한 성별 기준
전체 인구를 추적하려면 출생 성비를 $F_i$에 반영해야 한다는 조건.
같은 폭의 연령군
한 예측 기간에 정확히 다음 연령군으로 이동한다는 가정.
마지막 연령군의 절단
이 3구간 모형은 $A_2$ 이후를 추적하지 않는다는 제한.

현실 모형으로 확장 연령군 추가, 시간에 따라 변하는 $L_t$, 이주 벡터 $\boldsymbol\mu_t$, 환경 변동을 나타내는 확률 모형. 이주까지 넣으면 기본 반복식은 $\mathbf n_{t+1}=L_t\mathbf n_t+\boldsymbol\mu_t$로 넓어져요.

5탐구 과제 · 숫자보다 구조

같은 총인구, 다른 미래

총합이 같은 초기벡터 두 개를 만들고 첫 5기간을 비교해 보세요. 장기 증가율은 같지만 단기 변화가 다른 까닭도 설명해 보세요.

성장과 감소의 경계

생존율을 고정하고 출산율 하나만 조절하여 λ를 1에 가깝게 맞춰 보세요. $R_0=1$로 결과를 검산해 보세요.

초기조건을 잊는 비율

초기벡터를 크게 바꾼 뒤 안정 비중을 비교해 보세요. 같은 비율로 가까워지는 데 필요한 가정도 적어 보세요.