1–2차시 · 도입
선형성의 정의와
선형 근사의 적용 범위
덧셈과 스칼라배의 보존으로 선형성을 정의한다.
표본 검사의 한계와 미분을 이용한 국소 선형화를 구분한다.
1선형성의 조건과 표본 검사
- 입력 $x$와 출력 $f(x)$.
- 두 배의 시험 · $f(2x)=2f(x)$.
- 덧셈의 시험 · $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$.
- 정의 · 모든 $u,v$와 스칼라 $c$에 대해 덧셈과 스칼라배를 보존한다.
- 필수 조건 · $f(0)=0$.
화면의 두 시험은 반례를 찾는 탐색 도구다. 몇 번 통과한 사실만으로 선형성이 증명되지는 않는다.
표본 검사와 반례
정사각형의 변을 2배로 늘리면 넓이는 4배가 된다. 많은 현상은 이렇게 두 시험을 통과하지 않는다.
반면 용수철·저항·작은 진폭의 소리는 일정 범위에서 선형 모형과 잘 맞는다.
진자의 복원 가속도는 각도가 작을 때만 선형에 가깝다. 이제 그 유효 범위를 살펴본다.
2미분과 국소 선형화
- 비선형함수 $y=x^2$를 기준점 근처에서 확대한다.
- 기준점에서의 접선과 함수값을 비교한다.
- 미분 · 증분에 대한 일차 선형 근사.
메커니즘 ② · 국소 선형화
$y=|x|$ 의 원점은 아무리 확대해도 꺾여 있다. 그래서 그 점에서는 미분이 불가능하다.
함수가 $a$에서 미분 가능하면 $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$가 성립한다.
따라서 $h$가 작을 때 증분 $f(a+h)-f(a)$를 선형항 $f'(a)h$로 근사한다.
이 성질 덕분에 비선형 문제의 작은 범위를 선형대수로 분석할 수 있다.
3진자의 작은각 근사와 오차
- 비선형 진자 · $\ddot\theta=-\frac{g}{L}\sin\theta$.
- 작은 각도 · $\sin\theta\approx\theta$.
- 선형 모형의 일정한 주기와 실제 진자의 비교.
선형 모형이 맞는 범위
- 적용 범위 — 작은 각도(대략 15° 이내)에서는 오차가 작다.
- 오차 증가 — 진폭이 커질수록 실제 주기가 길어져 선형 모형과 위상차가 생긴다.
- 오차 보정 — 더 높은 차수의 급수 전개를 사용하거나,
작은 범위에서 작동하도록 시스템을 설계한다.
4선형대수의 세 적용 방식
정확한 선형성, 국소 선형화, 상태 표현을 구분한다.
24차시에서는 정확한 선형성, 국소 선형화, 특징 확장을 비교하고 각 방법의 적용 조건을 정리한다.