1–2차시 · 도입
선형성의 정의와
선형 근사의 적용 범위
덧셈과 스칼라배를 보존하는 함수를 선형함수라고 해요.
몇 가지 값만 시험하는 방법의 한계와 미분을 이용한 ‘한 점 근처의 선형화’를 구분해 봐요.
1선형성의 조건과 표본 검사
- 입력 $x$, 출력 $f(x)$
- 두 배 검사 · $f(2x)=2f(x)$
- 덧셈 검사 · $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$
- 정의 · 모든 $u,v$와 스칼라 $c$에 대해 덧셈과 스칼라배를 보존함
- 필수 조건 · $f(0)=0$
화면의 두 시험은 반례를 찾는 도구예요. 몇 번 통과했다는 사실만으로 선형성이 증명되지는 않아요.
표본 검사와 반례
정사각형의 한 변을 2배로 늘리면 넓이는 4배가 되므로 이 관계는 선형이 아니에요.
반면 용수철·저항·작은 진폭의 소리는 일정한 범위에서 선형 모형으로 설명할 수 있어요.
진자의 복원 가속도도 각도가 작을 때만 선형에 가까워요. 아래에서 그 적용 범위를 확인해 봐요.
2미분과 한 점 근처의 선형화
- 비선형함수 $y=x^2$를 기준점 근처에서 확대해 보자.
- 기준점에서의 접선과 함수값을 비교해 보자.
- 미분 · 입력의 작은 변화에 대한 일차 근사
메커니즘 ② · 한 점 근처의 선형화
$y=|x|$의 원점은 아무리 확대해도 꺾여 있어요. 그래서 그 점에서는 미분할 수 없어요.
함수가 $a$에서 미분 가능하면 $h$가 작을 때 $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$로 나타낼 수 있어요.
변화량 $f(a+h)-f(a)$를 선형항 $f'(a)h$로 가까이 나타내며, $h$가 작아질수록 오차도 빠르게 작아져요.
따라서 비선형 문제도 한 점에 가까운 작은 범위에서는 선형대수로 분석할 수 있어요.
3진자의 작은각 근사와 오차
- 비선형 진자 · $\ddot\theta=-\frac{g}{L}\sin\theta$.
- 작은 각도 · $\sin\theta\approx\theta$.
- 선형 모형의 일정한 주기와 실제 진자의 비교.
선형 모형이 맞는 범위
- 적용 범위 — 대략 15° 이내의 작은 각도에서는 오차가 작아요.
- 오차 증가 — 진폭이 커질수록 실제 주기가 길어져 두 진자의 움직이는 시점이 어긋나요.
- 오차 보정 — 더 높은 차수의 급수 전개를 사용하거나,
각도가 작은 범위에서만 모형을 사용해요.
4선형대수의 세 적용 방식
선형대수를 적용하는 세 가지 방식을 구분해 봐요.
①
선형 법칙
소리의 중첩, 훅의 법칙, 옴의 법칙을 1단원 벡터공간에서 다뤄요.
31차시에서는 정확한 선형성, 한 점 근처의 선형화, 특징 확장을 비교하고 각 방법을 언제 쓸 수 있는지 정리해요.