벡터공간의 공리·기저·차원
서로 다른 대상의 공통 연산, 기저와 차원이 나타내는 정보의 수
고등학교 고급대수
선형대수 48차시 과정
수업·탐구 32차시에서 벡터공간, 행렬 분해, 최적화, 동역학을 조작과 계산으로 학습한다. 평가·피드백 12–15차시와 학교 일정에 따른 보충 시수를 별도로 운영한다.
과정의 핵심 질문
비선형 문제에 선형대수를 적용하려면 어떤 조건이 필요한가?
중첩원리를 만족하면 선형사상으로 나타낼 수 있고, 미분 가능한 비선형함수는 한 점 근처에서 같은 도구로 근사할 수 있다. 상태벡터에 행렬을 반복해 곱하면 장기 거동까지 읽힌다.
과정 구성
세 단원의 핵심 내용
먼저 배워야 할 개념의 순서에 따라 내용을 배치했다.
선형사상과 행렬의 표현
행렬의 열에 담긴 변환 정보, 합성과 역변환, 행렬식으로 읽는 넓이 변화
고윳값·대각화·스펙트럼 정리
고유방향과 대각화, 반복 시스템을 이루는 독립 성분
핵심 학습 경로
학습 순서
읽기 화면 · 장면별 발표 화면
응용 탐구
선형대수 응용
핵심 단원에서 배운 개념을 퍼즐, 프랙탈, 확률, 이미지, 인공지능 문제에 적용한다.
B1 · F₂
스위치 퍼즐의 선형대수
0과 1의 벡터공간, 해의 존재와 자유도
공간 · 방정식B2 · IFS
아핀변환 반복과 프랙탈
수축 아핀변환의 반복과 프랙탈 생성
합성 · 반복B3 · LANDMARKS
얼굴 랜드마크의 벡터 표현
랜드마크 좌표의 차이와 보간으로 나타내는 표정 변화
벡터 · 아핀변환B4 · GRAPH
PageRank의 고유벡터
작은 웹 그래프의 링크 구조와 정지분포
고윳값 · 확률B5 · SVD
사진을 낮은 랭크로 압축하기
성분 선택에 따른 정보량과 화질의 균형
직교 · 저랭크B6 · POPULATION
인구의 장기 변화를 읽는 행렬
출산율·생존율과 지배 고윳값의 의미
행렬 거듭제곱B7 · GEOMETRY
곡선의 접선·법선·곡률
접선·법선·곡률, 접공간을 이용한 국소 선형화
미분 · 접공간B8 · AI
임베딩과 어텐션의 선형대수
내적·행렬곱·저랭크 갱신이 맡는 AI 연산
내적 · 행렬B9 · FINALE
비선형 문제를 다루는 세 전략
뉴턴법과 조각별 선형성, 카오스에서 살피는 선형화의 힘과 한계
종합 · 선형화
수학적 사고 습관
문제 풀이 전 확인할 사항
문제의 맥락이 달라져도 적용할 수 있는 판단 기준을 평가한다.
공간·스칼라·입출력 정하기
덧셈의 대상, 스칼라의 범위, 변환의 정의역과 공역
가정에 따른 반례 확인
대칭성·가역성·수축성 유무에 따라 달라지는 결론
문제 사이의 공통 구조 찾기
피보나치 수열·마르코프 연쇄·PageRank의 행렬 반복
오늘의 마무리
수업을 마치며 새로 알게 된 점이나 아직 남은 질문을 짧게 적어 보자.