고급 대수 · 32차시

32차시 선형대수 프레젠테이션

용어와 조건을 먼저 정의하고, 예제와 증명으로 뜻을 확인합니다. 계산 뒤에는 반례·조건 비교·오류 분석 문제로 이해를 점검합니다.

준비 차시부터 시작하기 학습지 고르기

← → 화면 이동
Space 단계 공개
F 전체 화면
O 한눈에 보기
N 교사 메모
풀이와 판단 근거: 클릭 또는 Tab·Space로 열기

준비

벡터를 처음 만나는 학생을 위한 두 차시. 벡터의 뜻과 점을 점으로 보내는 함수를 먼저 익힙니다.

벡터란 무엇인가

스칼라와 벡터의 구분, 화살표와 순서쌍, 벡터 연산과 일반화의 동기

점을 점으로 보내는 함수

T(x,y)=(2x−y, y−x) 같은 2변수 함수와 벡터장 읽기

벡터공간

선형성부터 기저와 차원까지, 주요 정의를 계산으로 확인합니다.

선형변환의 조건

덧셈·스칼라배 보존의 판정과 반례

선형화와 근사 오차

접선 근사의 적용 범위와 오차 변화

벡터의 표현

화살표·다항식·소리·이미지에서 같은 연산 αu+v 확인

벡터공간의 공리

닫힘성과 공리를 가르는 예와 반례

생성집합과 부분공간

선형결합이 만드는 집합과 부분공간 판정

선형독립·기저·차원

중복 없는 생성집합과 좌표의 자유도

좌표·방정식·변환

기저와 정사영을 연립방정식, 선형변환의 행렬 표현과 연결합니다.

기저와 좌표의 변환

연립방정식으로 구하는 기저좌표와 표현의 유일성

내적·정사영·그람–슈미트 과정

직교분해와 가장 가까운 점 계산

행렬 연산과 Ax=b

행렬곱의 정의, 열공간과 해가 존재할 조건

가우스 소거와 역행렬

피벗·자유변수와 해의 개수

핵·상·랭크와 해집합

핵과 상의 정의, 차원 정리와 해의 존재·유일성

행렬이 나타내는 선형변환

행렬의 열로 회전·대칭·정사영을 계산

기하와 스펙트럼

합성과 행렬식의 기하적 뜻을 살핀 뒤, 고유벡터와 대각화 조건을 알아봅시다.

합성과 기저에 따른 행렬 표현

행렬곱의 순서에 따라 달라지는 변환 결과

행렬식과 수반행렬

넓이·부피의 배율, 거울처럼 뒤집히는지, 역행렬이 있는지 판정

변환이 보존하는 성질

직선과 평행성, 넓이·거리·각의 보존 조건

고윳값과 고유벡터

방향이 유지되는 벡터와 그 확대율

대각화의 가능성과 실패

고유벡터가 충분한 변환과 부족한 변환

고유기저와 대각화 계산

P⁻¹AP=D의 기저변환과 계산 절차

행렬 분해와 최적화

계산 목적에 맞는 분해를 골라 미분과 최솟값 문제에 연결합니다.

행렬 분해의 목적과 선택

LU·QR·고유분해·특잇값 분해·슈어 분해·극분해의 쓰임

LU·촐레스키 분해와 이차함수

연립방정식, 양의 정부호 행렬, 제곱합과 최솟값의 연결

QR과 최소제곱

직교분해로 구하는 회귀계수와 최소 잔차

대칭행렬과 레일리 몫

이차형식의 최댓값·최솟값과 고유방향

이차형식·주축·헤세 행렬

교차항을 없애 얻는 주축과 다변수 함수의 최솟값

특잇값 분해와 최적 저랭크 근사

단위원 변환, 이미지 압축 오차, 인공지능 모델의 저랭크 조정

공분산·주성분 분석·자료에 맞춘 거리

최대분산 방향과 자료의 퍼짐을 반영한 거리

동역학과 모델링

행렬의 반복부터 진동·그래프·제어·비선형 근사까지 살펴보고 모형을 검증합니다.

케일리–해밀턴과 행렬 거듭제곱

특성다항식으로 줄이는 고차 거듭제곱과 점화식

마르코프 연쇄와 PageRank

전이행렬을 반복할 때 나타나는 정지분포와 감쇠항의 역할

결합진동과 정규모드

강성행렬의 고유벡터와 고유진동수

그래프 라플라시안과 푸리에 모드

그래프의 확산을 나타내는 고유벡터 기저

상태공간·제어·순서 자료 모형

상태 갱신·목표 도달·안정성과 AI 상태공간 모형의 연결

한 점 근처의 선형화·뉴턴 방법·쿠프만 관점

야코비·헤세 행렬, 특징을 늘려 선형으로 나타내는 방법

선형대수 모형 만들기

상태와 규칙부터 오차와 적용 범위까지 확인하는 모형 검증