전자칠판 수업용 프레젠테이션

32차시 선형대수 프레젠테이션

직접 계산과 시각화로 개념을 확인한 뒤 정의, 정리, 응용으로 확장한다.

1차시부터 시작하기

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N 교사 메모

벡터공간

선형성, 벡터공간, 생성, 기저와 차원의 정의를 계산으로 확인한다.

선형변환의 조건

반례와 계산으로 덧셈과 스칼라배의 보존을 판정한다.

선형화와 근사 오차

접선 근사의 적용 범위와 오차 변화를 확인한다.

벡터의 표현

좌표, 다항식, 함수, 소리, 이미지를 같은 연산으로 표현한다.

벡터공간의 공리

연산의 닫힘성과 공리를 예와 반례로 확인한다.

생성집합과 부분공간

선형결합이 만드는 집합을 살펴보고 부분공간인지 판정한다.

선형독립·기저·차원

중복 없는 생성집합과 좌표의 자유도를 계산한다.

좌표·방정식·사상

기저, 정사영, 연립방정식, 선형사상의 행렬 표현을 연결한다.

좌표와 기저변환

같은 벡터의 좌표를 서로 다른 기저에서 계산한다.

내적·정사영·Gram–Schmidt

직교분해로 최근접점을 계산한다.

행렬방정식 Ax=b

방정식, 열공간, 선형변환의 세 관점으로 해석한다.

가우스 소거와 해집합

피벗과 자유변수로 해의 존재성과 개수를 판정한다.

핵·상·랭크–널리티

입력 정보의 손실과 가능한 출력을 차원으로 계산한다.

선형사상의 행렬 표현

기저에 따른 행렬 표현과 사상 자체를 구분한다.

기하와 스펙트럼

합성, 행렬식, 불변량, 고유벡터와 대각화의 조건을 다룬다.

합성·역변환·비가환성

행렬곱의 순서가 변환 결과에 미치는 영향을 확인한다.

행렬식과 넓이·방향

넓이 배율, 방향 반전, 가역성을 판정한다.

변환이 보존하는 성질

직선, 평행성, 넓이, 거리, 각의 보존 조건을 비교한다.

고윳값과 고유벡터

방향이 유지되는 벡터와 확대율을 계산한다.

대각화의 가능성과 실패

고유벡터가 충분한 변환과 부족한 변환을 구분한다.

고유기저와 대각화 계산

P⁻¹AP=D의 기저변환과 계산 절차를 확인한다.

행렬 분해와 최적화

계산 목적에 맞는 분해를 선택하고 미분·최솟값 문제와 연결한다.

행렬 분해의 목적과 선택

LU, QR, 고유분해, SVD, Schur, 극분해의 사용 목적을 비교한다.

LU·Cholesky와 이차함수

연립방정식, 양의 정부호, 제곱합과 최솟값을 연결한다.

QR과 최소제곱

직교분해로 회귀계수와 최소 잔차를 계산한다.

대칭행렬과 Rayleigh 몫

이차형식의 최댓값·최솟값과 고유방향을 구한다.

이차형식·주축·헤세 행렬

교차항을 제거하고 주축과 다변수 함수의 최솟값을 구한다.

SVD와 최적 저랭크 근사

단위원의 변환과 압축 오차, POD와 LoRA의 저랭크 구조를 살핀다.

공분산·PCA·Mahalanobis 거리

최대분산 방향과 공분산을 반영한 거리를 계산한다.

동역학과 모델링

행렬의 반복, 진동, 그래프, 제어, 비선형 근사와 모델 검증을 다룬다.

Cayley–Hamilton과 행렬 거듭제곱

특성다항식으로 고차 거듭제곱과 점화식을 계산한다.

Markov 연쇄와 PageRank

전이행렬의 반복, 정지분포, 감쇠항의 역할을 분석한다.

결합진동과 정규모드

강성행렬의 고유벡터와 고유진동수를 계산한다.

그래프 Laplacian과 Fourier 모드

그래프 확산과 에너지를 고유벡터 주파수 기저로 나타낸다.

상태공간·제어·시퀀스 모델

상태 갱신, 도달가능성, 안정성을 AI 상태공간 모델과 연결한다.

국소 선형화·Newton·Koopman

Jacobian, 헤세 행렬, 특징공간의 선형 표현을 구분한다.

선형대수 모델링 스튜디오

상태, 규칙, 계산, 오차, 적용 범위를 하나의 모델에서 검증한다.